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第 12 课 功与机械能、简单机械

沪科版（2024）八年级物理全一册 · 第 10/11 章《功与机械能》《简单机械》
①本节目标
②历史故事：撬动地球的豪言与金字塔的秘密

名言典故"给我一个支点，我就能撬动地球"——阿基米德

大约公元前 3 世纪，古希腊伟大的科学家阿基米德系统研究了杠杆的规律：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂（即 F₁L₁ = F₂L₂）。他由此意识到，只要动力臂足够长，再小的力也能撬起极重的物体。相传他说出了一句豪言壮语——"给我一个支点，我就能撬动地球"。

需要说明的是：这句话属于流传下来的名言典故（传说化表述），并没有可靠史料记载这是阿基米德的真实原话，但它生动地表达了杠杆"以小力撬重物"的巨大威力，因此被世代传颂。

从数学上看：由 F₁L₁ = F₂L₂ 可得 F₁ = F₂·L₂/L₁——只要把动力臂 L₁做得足够长，动力 F₁ 就可以远小于阻力 F₂。这就是杠杆省力的"秘密配方"。

史实古埃及人用杠杆与斜面修建金字塔

约公元前 2600 年，古埃及人修建了举世闻名的胡夫金字塔：塔高约 146 米，由约 230 万块巨石砌成，每块巨石重达数吨。当时没有起重机、没有钢铁机械，巨石是怎么被搬运、抬升到几十米高处的？

据考古学家推测，古埃及人主要依靠两大类简单机械：一是用杠杆撬动巨石（翘起一角垫入滚木、逐步抬高）；二是修筑长长的土坡（斜面），把巨石沿坡道拖拽到高处。现代研究表明，还可能利用滑轮提升巨石。这些简单机械正是本课要学习的内容——功、机械能、杠杆、滑轮。

一句话总结：古代人没有发动机，却靠"简单机械 + 人力"完成了今天的工程奇迹——他们用的正是本课的物理规律。

③核心知识（物理规律 ＋ 数学工具 ＋ 生活案例）

知识点 1　功 （W=Fs，单位 J）

【物理】物理规律

  • 功的定义：作用在物体上的力，使物体在力的方向上通过一段距离，就说这个力对物体做了功。
  • 做功的两个必要因素：①作用在物体上的力；②物体在力的方向上通过的距离。两个因素缺一不可。
  • 不做功的三种情况：有力无距离（如举着杠铃不动）；有距离无力（如物体靠惯性继续运动）；力与距离垂直（如提着水桶水平行走，拉力竖直向上，与水平移动方向垂直，不做功）。
  • 功的计算：W = Fs（F——力，单位 N；s——物体在力的方向上通过的距离，单位 m；W——功，单位 J）。1 J = 1 N·m。

【数学】数学工具

  • W = Fs 是乘法关系：F 一定时，W 与 s 成正比（距离加倍，功加倍）；s 一定时，W 与 F 成正比。
  • 像解一元一次方程一样变形：F = W/s（求力）、s = W/F（求距离）——已知任意两个量可求第三个量。
  • 单位换算：1 J = 1 N·m。例如 100 N 的力使物体沿力的方向前进 5 m：W = 100×5 = 500 J。

【生活】生活案例

  • 案例推车前进：手对车的推力方向与前进方向一致，推力做功。
  • 案例起重机吊起重物：钢绳的拉力竖直向上，重物竖直上升，拉力做功。
  • 案例提着水桶水平行走：手对水桶的拉力竖直向上，而水桶在水平方向移动——力与移动方向垂直，拉力对水桶不做功。
  • 案例举着杠铃不动：有力但物体没有移动（无距离），举力不做功。

【方法】学科提升

判断力是否做功用"两要素核对法"：先看有没有力，再看物体是否在力的方向上移动了距离——注意"力的方向上"，方向垂直时不做功。

知识点 2　功率 （P=W/t，单位 W）

【物理】物理规律

  • 功率：表示做功快慢的物理量——做功相同时，用的时间越短，功率越大。
  • 定义式：P = W/t（W——功，单位 J；t——做功所用时间，单位 s；P——功率，单位 W）。1 W = 1 J/s。
  • 变形公式：W = Pt（求功）、t = W/P（求时间）。

【数学】数学工具

  • P = W/t 与速度公式 v=s/t 是同一个数学结构：都是"比值"定义——快慢 = 总量 ÷ 时间。
  • 公式变形：W = Pt（乘法还原）、t = W/P（求时间），与 v=s/t ⟶ s=vt、t=s/v 的变形逻辑完全一致。
  • 单位：1 W = 1 J/s；功率大表示"每秒做功多"。

【生活】生活案例

  • 案例不同起重机吊起相同重物：做的功相同（W 相同），但大功率起重机几秒钟吊到位，小功率的需要更长时间——功率大的做功快。
  • 案例人上楼与电梯上楼：把你送到同一层楼，做的功大致相同；电梯几十秒到，人爬楼梯要好几分钟——电梯的功率比人大多了。

【方法】学科提升

"功"看的是做的总量，"功率"看的是做得多快——就像"跑了多远"和"跑得多快"是两个不同的量，别混淆。

知识点 3　机械能与相互转化 （动能、重力势能、弹性势能）

【物理】物理规律

  • 动能：物体由于运动而具有的能。影响因素：质量与速度——质量越大、速度越大，动能越大。
  • 重力势能：物体由于被举高而具有的能。影响因素：质量与高度——质量越大、高度越高，重力势能越大。
  • 弹性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能。影响因素：弹性形变的程度——形变越大，弹性势能越大（如拉弯的弓、压缩的弹簧）。
  • 转化与守恒：动能与势能可以相互转化；不计摩擦与阻力时，动能与势能的总和（机械能）守恒。

【数学】数学工具

  • 控制变量法看因素：研究动能时保持质量不变比速度、保持速度不变比质量——这是"只改变一个量"的对比实验思路。
  • 转化过程可定量表达：动能 + 势能 = 机械能（守恒）。摆球从高处放下：最高点势能最大、动能最小；最低点势能最小、动能最大（可参考下方"实验 3 单摆"的能量条）。
  • 生活语言→物理语言：速度大 = 动能大；位置高 = 势能大。

【生活】生活案例

  • 案例高处重锤下落打桩：重锤被举高具有重力势能，下落时势能转化为动能，动能把木桩打进地里。
  • 案例拉弯的弓射出箭：弓弦的弹性势能转化为箭的动能，箭飞出去。
  • 案例单摆摆动：来回摆动中重力势能与动能不断相互转化（忽略摩擦时机械能守恒）。
  • 案例骑车上坡前加速：上坡时动能转化为重力势能，速度减小、高度升高——提前加速就是提前储存动能"爬坡"。
  • 案例过山车：从最高点俯冲下来，重力势能转化为动能（越冲越快）；爬升时动能又转化为势能（越爬越慢）。

【方法】学科提升

"机械能守恒"是有条件的（不计摩擦与阻力）；现实中摩擦会把一部分机械能转化为内能，机械能不守恒——这正是本课后面"机械效率小于 1"的原因之一。

知识点 4　杠杆 （五要素与平衡条件 F₁L₁=F₂L₂）

【物理】物理规律

  • 杠杆：在力的作用下能绕固定点转动的硬棒。
  • 五要素：支点 O（杠杆绕着转动的固定点）、动力 F₁（使杠杆转动的力）、阻力 F₂（阻碍杠杆转动的力）、动力臂 L₁、阻力臂 L₂。
  • 平衡条件：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂，即 F₁L₁ = F₂L₂。
  • 杠杆分类：省力杠杆（L₁ > L₂，省力但费距离，如羊角锤、开瓶器）；费力杠杆（L₁ < L₂，费力但省距离，如镊子、钓鱼竿）；等臂杠杆（L₁ = L₂，不省力不省距离，如天平）。

【数学】数学工具

  • 力臂＝支点到力的作用线的垂直距离——这正是数学中"点到直线的距离"的几何作图：①找支点；②画力的作用线（可延长）；③过支点作作用线的垂线；④垂足到支点的距离就是力臂。
  • 平衡条件是乘积比较：分别算 F₁L₁ 与 F₂L₂，乘积大的一侧下沉，两积相等则平衡。
  • 省力判断：L₁/L₂ 的比值越大，越省力（F₁ = F₂·L₂/L₁）。

【生活】生活案例

  • 案例撬棍、开瓶器（省力杠杆）：撬棍撬石头、开瓶器开瓶盖，动力臂长，用较小的力撬起很重的物体。
  • 案例镊子、钓鱼竿（费力杠杆）：镊子夹东西、钓鱼竿钓大鱼，动力臂短、阻力臂长——费力，但手只需小幅移动，钓竿远端就能大幅移动（省距离）。
  • 案例天平（等臂杠杆）：两臂等长，两边砝码与物体重力相等时平衡，用来称质量。

【方法】学科提升

省力与省距离不可兼得：省力杠杆费距离，费力杠杆省距离——这是"功的原理"（任何机械都不省功）在杠杆上的体现。

知识点 5　滑轮 （定滑轮、动滑轮、滑轮组）

【物理】物理规律

  • 定滑轮：轴固定不动，相当于等臂杠杆（支点在轴心，动力臂=阻力臂=轮半径）——不省力，但能改变力的方向。
  • 动滑轮：轴随物体一起移动，相当于动力臂为阻力臂 2 倍的杠杆——省一半力（理想情况 F=G/2），但不改变力的方向。
  • 滑轮组：定滑轮与动滑轮组合使用，既能省力又能改变力的方向。理想情况 F = G/n（n 为承担重物的绳子段数）。

【数学】数学工具

  • 定滑轮：L₁=L₂ → F₁=F₂（等臂）；动滑轮：L₁=2L₂ → F₁=F₂/2（省一半力）。
  • 滑轮组：F = G/n，n = 与动滑轮相连（承担重物）的绳子段数；绳端移动距离 s 与重物上升高度 h 的关系：s = n·h（省力越多，拉绳越费距离）。
  • 数 n 的方法：看有几段绳子"拉着"动滑轮（含挂在动滑轮钩上的固定端）。

【生活】生活案例

  • 案例旗杆顶端的定滑轮：升旗时在下面向下拉绳，旗帜就向上升——定滑轮改变力的方向，把"向下拉"变成"旗上升"。
  • 案例起重机滑轮组：吊臂上的滑轮组省力，用较小的拉力吊起数吨重的货物。

【方法】学科提升

滑轮是杠杆的变形：定滑轮=等臂杠杆，动滑轮=省力杠杆。用"杠杆模型"理解滑轮，一通百通。

知识点 6　机械效率 （η = W有用/W总 < 1）

【物理】物理规律

  • 有用功 W有用：对人们有用的功（如提升重物时对重物做的功 W=Gh）。
  • 额外功 W额外：不需要但又不得不做的功（如克服摩擦、克服动滑轮自重做的功）。
  • 总功 W总：动力做的功，W总 = W有用 + W额外。
  • 机械效率：有用功与总功的比值，η = W有用/W总。任何机械的机械效率都小于 1——因为额外功不可避免，W有用 总小于 W总。

【数学】数学工具

  • η 是比值（百分比）：η = W有用/W总 × 100%。因 W有用 < W总，故 η < 100%（< 1）。
  • 变形：W有用 = η·W总、W总 = W有用/η——已知两个量可求第三个量。
  • 提高机械效率的方向：减小额外功（减轻动滑轮自重、减小摩擦）。

【生活】生活案例

  • 案例滑轮组提升重物：拉力做的功是总功，其中只有对重物做的功（Gh）是有用功；克服动滑轮自重和绳与轮之间的摩擦做的功是额外功——所以机械效率总小于 100%。
  • 案例传送带：电动机带动传送带运转时，要克服带与轮之间的摩擦等阻力做功，这部分是额外功，真正"有用"的是把货物运到位做的功。

【方法】学科提升

机械效率衡量的是"投入的功有多少被真正用上了"——就像交学费，只有一部分真正转化为"知识"，总有"损耗"。

④数学工具：把功与机械"算得清、画得明"

工具 1　W=Fs 的公式变形：已知任意两个量求第三个量

W = F × s　⟶　F = W / s　⟶　s = W / F乘法公式，像解一元一次方程一样变形；单位：1 J = 1 N·m

【标准示例】用 100 N 的力沿水平方向推车，车沿力的方向前进 5 m：W = 100 × 5 = 500 J。

【变形运用 1】起重机把 500 N 的重物竖直提升，拉力做了 2000 J 的功，求重物上升高度：s = W/F = 2000 ÷ 500 = 4 m。

【变形运用 2】某力做了 600 J 的功，物体沿力的方向移动了 2 m，求该力：F = W/s = 600 ÷ 2 = 300 N。

已知求公式示例
F=100 N，s=5 mWW=Fs100×5=500 J
W=2000 J，F=500 Nss=W/F2000÷500=4 m
W=600 J，s=2 mFF=W/s600÷2=300 N

工具 2　P=W/t 的公式变形：和速度公式 v=s/t 同一个"骨架"

P = W / t　⟶　W = P × t　⟶　t = W / P快慢 = 总量 ÷ 时间，与 v=s/t ⟶ s=vt、t=s/v 的变形逻辑完全一致；单位：1 W = 1 J/s

【标准示例】功率 1000 W 的电动机工作 5 s，做功 W = Pt = 1000 × 5 = 5000 J。

【变形运用 1】机器做了 6000 J 的功，用时 10 s，求功率：P = W/t = 6000 ÷ 10 = 600 W。

【变形运用 2】一台机器功率为 400 W，要做完 2000 J 的功需多长时间：t = W/P = 2000 ÷ 400 = 5 s。

【类比记忆】"快慢 = 总量 ÷ 时间"——速度 v=s/t 是路程除以时间，功率 P=W/t 是功除以时间，数学结构一模一样。

工具 3　η = W有用/W总：比值与百分比

η = W有用 / W总 × 100%　W总 = W有用 + W额外；因额外功不可避免，η 总小于 100%

【标准示例】用滑轮组提升重物，拉力做的总功 W总 = 1000 J，其中有用功 W有用 = 800 J（克服额外功 200 J）：η = 800 ÷ 1000 × 100% = 80%。

【变形运用】已知机械效率 η=80%、总功 1000 J，求有用功：W有用 = η·W总 = 0.8 × 1000 = 800 J；求额外功：W额外 = W总 − W有用 = 200 J。

【关键理解】η 是"投入的总功中真正被用上的比例"：W有用 < W总 ⟹ η < 1（< 100%）。提高 η = 减小额外功（如给滑轮组加润滑油减小摩擦）。

工具 4　力臂的几何作图：点到直线的距离

力臂 = 支点到力的作用线的垂直距离数学本质：过直线外一点作垂线，垂线段的长就是"点到直线的距离"

【作图四步】①找支点：确定杠杆绕之转动的点 O；②画作用线：沿力的方向画（可延长）力的作用线；③作垂线：过支点 O 向力的作用线作垂线，垂足记为 H；④量力臂：OH 的长就是该力的力臂。

【易错提醒】力臂是支点到力的作用线（整条直线）的垂直距离，不是支点到力的作用点的距离——力作用点离支点再近，只要力的方向倾斜，力臂也可能很长。

工具 5　杠杆平衡的乘积比较

F₁L₁ 与 F₂L₂ 比大小：乘积大的一侧下沉；相等则平衡平衡条件：F₁L₁ = F₂L₂
左侧（动力）右侧（阻力）比较结论
F₁=2 N，L₁=4 格 → 8F₂=4 N，L₂=2 格 → 88 = 8平衡
F₁=3 N，L₁=4 格 → 12F₂=2 N，L₂=2 格 → 412 > 4左侧下沉
F₁=1 N，L₁=2 格 → 2F₂=3 N，L₂=3 格 → 92 < 9右侧下沉

【方法】先把每侧的"力 × 力臂"乘积算出来，再比大小——这就是实验 1 里杠杆自动判断平衡所用的数学。

工具 6　滑轮组 F=G/n：数清"承重绳子段数"

F = G / n　（n 为承担重物的绳子段数）　｜　s = n × h定滑轮 n=1（不省力）；动滑轮 n=2（省一半力）；2 段绳滑轮组 n=2
装置承重绳段数 n物重 G拉力 F=G/n绳端移动 s 与重物上升 h 的关系
定滑轮110 N10 Ns = h（不省力也不费距离）
动滑轮210 N5 Ns = 2h（省一半力、费一倍距离）
滑轮组（2 段绳）210 N5 Ns = 2h（省一半力）

【数 n 的口诀】数一数"直接拉着动滑轮的绳子有几段"（动滑轮左右两侧各一段 + 挂在动滑轮钩上的固定端都算）。省力越多，拉绳越费距离——F=G/n 与 s=n·h 恰好互相对应，相乘得 F·s = G·h（不省功）。

⑤互动实验（Canvas 动画）

实验 1　杠杆平衡条件探究

杠杆以支点为中心，左右各刻 4 格（每格 1 格长）。用滑杆设置左侧（动力 F₁）与右侧（阻力 F₂）的挂钩码位置（1~4 格）和钩码个数（0~3 个），每个钩码重 1 N。系统实时计算 F₁L₁ 与 F₂L₂：两乘积相等时杠杆平衡（动画转水平），不等时乘积大的一侧下沉。点「示例」可载入一组平衡数据。
F₁=2 N，L₁=2 格，F₁L₁=4；F₂=2 N，L₂=2 格，F₂L₂=4 —— 平衡 ✔（F₁L₁=F₂L₂）
说明：每个钩码重 1 N，每格长度记为 1 格。杠杆平衡条件：F₁L₁ = F₂L₂。试试"左 4 格 1 个钩码"与"右 2 格 2 个钩码"——1×4 = 2×2，也平衡！

实验 2　定滑轮 / 动滑轮 / 滑轮组模拟

选择装置后观察动画：绿色箭头表示绳端拉力方向（向下拉绳），重物（重 10 N）随之上升。对比三种装置的拉力 F 与绳端移动距离 s：定滑轮 F=10 N（s=h）、动滑轮 F=5 N（s=2h）、滑轮组（2 段绳）F=5 N（s=2h），体会"省力必费距离"。
定滑轮：G=10 N，n=1，F=G/n=10 N，不省力；s=n·h=h（只改变力的方向）
说明：图中动滑轮模式顶部的小轮是导向轮（定滑轮），只负责把绳端引到下方便于观察，不省力也不改变省力效果——省一半力来自动滑轮本身（F=G/2=5 N）。动画中绳端拉下的距离 = 重物上升距离 × n。

实验 3　动能与势能相互转化（单摆）

摆球从左侧释放，来回摆动。右侧能量条实时显示摆球的动能（红）与重力势能（蓝）：最低点动能最大、势能最小；最高点势能最大、动能最小。忽略摩擦时，动能 + 势能 = 机械能（恒定）。
E动能 = 0.0 J　|　E势能 = 6.3 J　|　机械能 = 6.3 J（守恒）
说明：动能与势能可以相互转化；不计摩擦与阻力时，机械能守恒（动能 + 势能 = 定值）。
⑥生活应用：功与机械无处不在

剪刀

由两把杠杆组合而成：刀刃部分费力，手柄部分省力，柄越长越省力；理发剪刀刃长、手柄短，为的是省距离。

镊子

费力杠杆（动力臂短、阻力臂长）：夹东西费力，但手指小幅动作就能让镊尖大幅开合，省距离。

钓鱼竿

费力杠杆：鱼竿越长，手这一端（动力臂）越短、竿尖（阻力臂）越长——费力但能把鱼线甩得很远，省距离。

天平

等臂杠杆：两臂等长（L₁=L₂），F₁=F₂ 时平衡，用砝码重力直接"读出"物体质量。

开瓶器

省力杠杆：动力臂远大于阻力臂，轻轻一压就能撬开瓶盖（费力的事交给"长臂"）。

旗杆顶端的定滑轮

升旗时在下面向下拉绳，旗帜向上升起——定滑轮不省力但改变力的方向，让人站在地面就能升旗。

起重机

吊臂上安装滑轮组（定滑轮 + 动滑轮组合），既省力又能改变方向，用较小的拉力吊起数吨重的货物。

骑车上坡

上坡前加速是增大动能；上坡时动能转化为重力势能，速度减小、高度升高；下坡时势能又转化为动能，越骑越快。

过山车

从最高点俯冲：重力势能 → 动能（越冲越快）；爬升：动能 → 重力势能（越爬越慢）——一次次的"上上下下"就是一次次能量转化。

⑦思考题（想一想，再看答案）

1. 做功的两个必要因素是什么？

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一是作用在物体上的力；二是物体在力的方向上通过的距离。两个因素缺一不可：有力无距离（举着物体不动）、有距离无力（靠惯性滑行）、力与距离垂直（提着水桶水平行走）都不做功。

2. 省力杠杆一定省距离吗？

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不一定，恰好相反。省力杠杆费距离（L₁>L₂，如撬棍），费力杠杆才省距离（L₁<L₂，如镊子、钓鱼竿）。由功的原理可知，任何机械都不省功，所以省力与省距离不可兼得。

3. 为什么机械效率总小于 1（100%）？

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使用任何机械做功时，总功 W总 = W有用 + W额外。克服机械自重、摩擦等做的额外功不可避免，所以 W有用 总是小于 W总，η = W有用/W总 就总小于 1。想提高机械效率，就要设法减小额外功（如加润滑油减小摩擦、减轻动滑轮自重）。
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