第 10 课 压强

【数学】数学工具

压强公式是除法关系＋比例关系的综合应用：

• 受力面积 S 一定时，压强 p 与压力 F 成正比（p ∝ F）：压力增大为原来的几倍，压强也增大为原来的几倍。
• 压力 F 一定时，压强 p 与受力面积 S 成反比（p ∝ 1/S）：面积缩小为原来的一半，压强变为原来的 2 倍。
• 由 p=F/S 可变形：F = pS（求压力）、S = F/p（求受力面积）——已知任意两个量，就能算出第三个量。

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方法的来源就是公式的比例关系：

• F 一定时，p ∝ 1/S：把刀刃磨薄、把针磨尖，S 变小 → p 变大（增大压强）。
• F 一定时，S 变大 → p 变小（减小压强）：书包带加宽、坦克装宽履带，S 变大 → p 变小。
• 若需要精确比较，可以代入 p=F/S 定量计算两种方案哪个压强大。

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• h 是"深度"：从液面（自由表面）竖直向下到研究点的距离，不是到容器底的距离，也不是沿倾斜方向的距离——必须用竖直距离。
• p 与 h、ρ 均成正比：同一液体深度增大为 k 倍，压强也增大为 k 倍（p ∝ h）；同一深度密度增大为 k 倍，压强也增大为 k 倍（p ∝ ρ）。
• 计算时注意单位统一：ρ 用 kg/m³、h 用 m，得到 p 的单位才是 Pa。

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为什么液面相平？用 p=ρgh 解释：连通器底部某处两侧的液体压强必须相等（否则液体就会流动）。同种液体 ρ 相同，要两侧压强相等，只有两侧深度 h 相等——即液面在同一水平线上。

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• 托里拆利实验的数值计算用液体压强公式：p = ρgh = 13.6×10³ × 9.8 × 0.76 ≈ 1.013×10⁵ Pa（水银密度约 13.6×10³ kg/m³）。
• 这同时告诉我们：大气压能托起的水银柱约 760 mm，而换成水（密度小得多），能托起约 10.3 m 的水柱——因为 p 相同时 ρ 与 h 成反比。
• 1 标准大气压 ≈ 1.0×10⁵ Pa：水下 10 m 深处的压强正好约等于 1 个标准大气压，两者可互相参照。

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初中阶段对此规律作定性比较：比较同一流体中两处流速的大小，判断哪一侧压强小，进而判断压力差的方向（合力方向指向流速大、压强小的一侧）。这是"比大小、判方向"的逻辑链，为高中定量学习作铺垫。