本课完整教学包：脑图 → 历史故事 → 知识详解（含掌握概要）→ 数学工具 → 案例集锦 → 互动实验 → 思考题 → 测试环境。
中心 = 质量与密度；五个一级分支：质量 / 天平 / 密度 / 图像 / 应用；★ 为掌握星级（★★★ 必考核心，★★☆ 掌握要点）。
阿基米德鉴别皇冠的故事（传说）：传说在两千多年前的古希腊叙拉古王国，国王希罗请工匠打造了一顶金冠。国王怀疑工匠在黄金里掺了白银，可又不想破坏金冠，于是请大学者阿基米德来鉴定：这顶金冠到底是不是纯金做的？
阿基米德苦苦思索了很久都没有头绪。传说有一天，他在浴缸里洗澡时，发现身体浸入水中越多，溢出的水越多——他灵感迸发，大喊"尤里卡（我找到了）"！原来，物体浸入水中排开水的体积等于物体自身的体积。他立即做了一个实验：取来与金冠质量相同的一块纯金，把金冠和纯金先后放入盛满水的容器中，比较两者排开水的体积。结果发现：金冠排开的水比等质量纯金排开的水更多，说明金冠的体积比纯金更大。质量相同而体积更大，说明金冠的"单位体积质量"更小——密度更小，也就证明金冠里掺了别的金属（白银密度小于黄金）。
⚠ （传说）标注：这个故事最早见于古罗马建筑师维特鲁威的记载，但"洗澡溢水、尤里卡、赤身奔跑"等细节很可能是后人演绎，无法确证，因此只能作为"传说"来读。但故事背后蕴含的科学思想却是真实的：质量相同的物体，体积越大，"单位体积的质量"越小——这正是"密度"这一概念的核心。
从"物质轻重"到"密度"概念的建立：生活中我们常说"铁比木头重"、"水比油重"。但一根巨大的木头可能比一枚小铁钉重得多！可见"铁比木头重"指的并不是质量大小，而是：体积相同时，铁的质量比木头大——也就是"单位体积的质量"不同。为了准确描述物质的这种性质，物理学引入了密度：单位体积内所含物质的质量，用 ρ = m/V 表示。它把"物质轻重的感觉"变成了可以测量、可以计算的物理量。
单位换算是千进制倍率：由大到小 ×1000，由小到大 ÷1000。例：5 t = 5000 kg；2500 g = 2.5 kg。
数量级感受：鸡蛋约 50 g = 0.05 kg；中学生约 50 kg；大象约 5 t = 5000 kg——相差 10⁵ 倍。
读数 = 砝码 + 游码是加法；砝码先大后小、游码补足，是逐位逼近（像用 100、50、20、20、10、5、2、1 元凑金额）。游码把"克以下的 0.1 g 小质量"也精确读出。
砝码只能用镊子夹取（手汗会腐蚀砝码）；加砝码先大后小；称量过程中不能调节平衡螺母；潮湿物体不能直接放托盘。
ρ = m/V 是正比例关系：同种物质 V 扩大几倍、m 也扩大几倍，比值恒定。单位换算是分数运算：1 g/cm³ = 10⁻³ kg ÷ 10⁻⁶ m³ = 10³ kg/m³。
质量是"这个物体"的（随物体而变），密度是"这种物质"的（由种类、状态决定）。切下一半铁块：质量减半，密度不变。
m = ρV 对应正比例函数 y = kx，斜率 k = ρ。取直线上任一点算 k = m/V：如铝（10 cm³, 27 g）→ ρ = 2.7 g/cm³。
单位换算：1 g/cm³ = 10⁻³ kg ÷ 10⁻⁶ m³ = 10³ kg/m³（科学计数法）。
把铝、铁画在同一张 m-V 图中：铁的直线更陡 → 密度更大（7.9 > 2.7 g/cm³）。查表识物质：ρ ≈ 2.7 g/cm³ → 初步判断为铝。
比较两种物质密度：不用算，看图像斜率（陡峭程度）一眼就知道谁密度大。这就是"数形结合"——把 ρ = m/V 变成一眼能看懂的几何图形。
公式变形：ρ = m/V 两边同乘 V → m = ρV；两边同除 ρ → V = m/ρ。注意单位统一（g·cm³ 或 kg·m³ 配套使用）。
质量、体积可以直接测；密度"测不出来"却能算出来——用直接测量的量，通过公式变形得到需要知道的量，这是物理的重要方法。
"等式两边同乘（或同除）同一个不为 0 的数，等式仍成立"——这是公式变形的依据。已知任意两个量，就能求出第三个量。
计算示例：一块金属质量 m = 316 g，体积 V = 40 cm³，则 ρ = 316 ÷ 40 = 7.9 g/cm³ = 7.9×10³ kg/m³（查密度表，接近铁的密度，可初步判断为铁）。
把"克/厘米³"换算成"千克/米³"，用分数 + 科学计数法一步一步算：
所以水的密度 1.0 g/cm³ = 1.0×10³ kg/m³；铁的密度 7.9 g/cm³ = 7.9×10³ kg/m³。反向换算除以 10³。
| 要求哪个量 | 公式 | 需要知道 | 生活例子 |
|---|---|---|---|
| 密度 ρ | ρ = m / V | m、V | 鉴别金首饰、玉石 |
| 质量 m | m = ρV | ρ、V | 算水箱中水的质量 |
| 体积 V | V = m / ρ | m、ρ | 由铁块质量求其体积 |
| 物质 | 取点（V, m） | 斜率 ρ = m/V |
|---|---|---|
| 铝 | （10 cm³, 27 g） | 27 ÷ 10 = 2.7 g/cm³ |
| 铁 | （10 cm³, 78.5 g） | 78.5 ÷ 10 = 7.85 g/cm³ |
同一个坐标系里，铁的直线明显比铝的陡——直线越陡密度越大。这也是"探究质量与体积关系"实验的核心结论（翻到第 15 页互动实验 2，亲手描点验证）。
数形结合：看到过原点直线 → 两个物理量成正比；读出斜率 → 这是"比值"——图像把 ρ = m/V 变成了几何图形。
| 知识点 | 案例 | 说明 |
|---|---|---|
| 质量（物体属性）★★☆ | 冰化成水；橡皮泥变形；带到太空 | 形状、状态、位置变，质量不变 |
| 托盘天平 ★★★ | 称鸡蛋约 50 g；一袋米 5 kg；体检秤体重 | 放平、归零、左物右码；读数 = 砝码 + 游码 |
| 密度 ★★★ | 油浮水面；"铁比木头重"；鉴别金首饰 | ρ = m/V；油密度小于水；金密度约 19.3×10³ kg/m³ |
| m-V 图像与单位换算 ★★☆ | 比较铝、铁密度（看斜率）；1 g/cm³ = 10³ kg/m³ | 直线越陡密度越大；斜率 = 密度 |
| 密度应用 ★★★ | 水箱加水 300 kg；巨石估算 8.1 t；鉴别玉石 | m = ρV、V = m/ρ、ρ = m/V |
小结：质量看"多少物质"，密度看"单位体积的质量"——用 ρ = m/V 这一个公式，就能鉴别物质、求质量、求体积。
以上案例全部围绕"密度"这一条主线：浮沉、分拣、鉴别、减重……密度是解释物质世界的一把钥匙。
左盘放着一块质量为 126.4 g 的石块。请像使用真实天平一样：在下方砝码栏点击添加/取下砝码（再点一次取回），再拖动游码到合适位置。当右盘砝码 + 游码的示数 = 126.4 g 时，天平指针将回到中央，表示平衡了！
两种物质各 4 组（质量 m，体积 V）实验数据：铝（13.5 g, 5 cm³）（27 g, 10 cm³）（54 g, 20 cm³）（81 g, 30 cm³）；铁（39.25 g, 5 cm³）（78.5 g, 10 cm³）（157 g, 20 cm³）（235.5 g, 30 cm³）。点击「依次加入数据点」逐点把铝、铁两组数据描到坐标系中，再点「显示拟合直线」画出两条过原点的直线，观察斜率（密度）。
课堂建议：实验 1 先口算"126.4 g = 100 + 20 + 5 + 1 + 0.4"，再动手验证；实验 2 先预测"哪条线更陡"，再描点验证。
① 属性 vs 特性：质量是物体的属性，密度是物质的特性；② 两个工具：天平（测量）与 m-V 图像（分析）；③ 一个公式三种用法：ρ = m/V → 鉴别、求 m、求 V。
称量中不能调平衡螺母；切半铁块 密度不变；单位换算 1 g/cm³ = 10³ kg/m³（不是 10⁶）。
熟悉而陌生的力：密度的"重量表现"——重力 G = mg，质量不变、重力随位置而变。